Exercise 4

\[ \begin{flalign*} [\sigma_x, \sigma_y] &= \sigma_x \, \sigma_y - \sigma_y \, \sigma_x \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\mathrm{i} & 0 \\ 0 & \mathrm{i} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\mathrm{i} & 0 \\ 0 & -2\mathrm{i} \end{pmatrix} \\ &= 2\mathrm{i} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= 2 \mathrm{i} \sigma_z \end{flalign*} \]

\[ \begin{flalign*} [\sigma_y, \sigma_z] &= \sigma_y \, \sigma_z - \sigma_z \, \sigma_y \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ -\mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 2\mathrm{i} \\ 2\mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2\mathrm{i} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2 \mathrm{i} \sigma_x \end{flalign*} \]

\[ \begin{flalign*} [\sigma_z, \sigma_x] &= \sigma_z \, \sigma_x - \sigma_x \, \sigma_z \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2 \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i}^2 \\ \mathrm{i}^2 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2 \mathrm{i} \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \\ &= 2 \mathrm{i}\sigma_y \end{flalign*} \]